por Orlando Santos, con la asistencia de Grok Bot (IA)
Los mismos problemas que Roma
Los aztecas tenían los mismos problemas que los romanos. Un imperio tiene que saber cuánto le deben sus provincias, cuánta tierra tiene cada familia, cuánta gente hay en cada pueblo y en qué día cae cada fiesta y cada pago. Todo eso es aritmética. Sin números no hay tributo, y sin tributo no hay imperio.
Roma resolvió esos problemas con el censo, con los agrimensores que repartían la tierra en cuadrículas (la centuriatio) y con un calendario que tuvo que reformar Julio César en el año 46 a. C. porque se había desfasado de las estaciones.1 Tenochtitlan tuvo sus propios recaudadores, sus propios agrimensores y un calendario doble, de 365 y de 260 días, que volvía a coincidir cada 52 años.2
Y hay otro parecido. Los números romanos (I, V, X, L, C, M) no tenían cero ni valor posicional: servían para escribir una cantidad, no para hacer cuentas. Los romanos calculaban con el ábaco y con fichas, y anotaban solo el resultado.3 Los mexicas, como veremos, estaban en una situación muy semejante. Los mayas, en cambio, llegaron más lejos que unos y otros.
Contar de veinte en veinte
En toda Mesoamérica se contaba en base 20, el sistema vigesimal. Donde nosotros agrupamos de diez en diez, ellos agrupaban de veinte en veinte: 20, 20 × 20 = 400, 20 × 20 × 20 = 8 000. La lengua lo muestra: en náhuatl, 20 es cempohualli, «una cuenta», y 400 es centzontli, «un cabello» (o «una mata»), es decir, una cantidad incontable como los cabellos.4
¿Por qué veinte? La explicación más común es el cuerpo: diez dedos de las manos y diez de los pies hacen una persona completa. El maya yucateco usa la misma palabra, winik, para «hombre» y para «veinte».5 El veinte es también la base del calendario: veinte signos de los días, y meses de veinte días.
La base 20 tiene ventajas reales. Se divide exactamente entre 2, 4, 5 y 10, lo que facilita repartir mitades, cuartos y quintos. Y con pocos lugares se llega muy lejos: tres posiciones bastan para contar hasta 7 999. Se ha sugerido que estas propiedades hacían más cómodos los repartos de tributo y de tierra, aunque no tenemos un texto antiguo que lo diga.
Puntos, barras y el cero
Un punto vale 1. Una barra vale 5. Con esos dos signos se escribe del 1 al 19: una barra y tres puntos son 8; dos barras son 10; tres barras y cuatro puntos son 19. Nunca hay cinco puntos juntos: cinco puntos se cambian por una barra. Roma hacía lo mismo con I y V: VIII es una V y tres I. Las dos culturas agrupaban de cinco en cinco, como los dedos de una mano.
No fue un invento maya. Las barras y los puntos aparecen ya en monumentos olmecas y epiolmecas de la costa del Golfo, entre los zapotecos de Oaxaca y en las ciudades mayas.5 También están en los libros pintados del centro de México. El Códice Fejérváry-Mayer, anterior a la caída de Tenochtitlan, no es maya: pertenece al llamado grupo Borgia, del centro de México o la región Mixteca-Puebla (su origen exacto se discute), y hoy está en el World Museum de Liverpool. En su lámina 9, debajo del personaje sentado, hay filas de barras y puntos que cuentan días del calendario ritual de 260 días, el tonalpohualli. Era una escritura de números compartida por toda Mesoamérica.
La escalera de los números
El 20 ya no cabe en barras y puntos. Aquí los caminos se separan. Los mayas suben un piso: un punto arriba vale 20, y abajo, para que no quede hueco, va la concha del cero. Los mexicas, en sus libros de tributo, usaban signos nuevos para cada escalón de veinte.4
| Valor | Cómo se escribe |
|---|---|
| 1 | un punto |
| 5 | una barra |
| 10 | dos barras |
| 19 | tres barras y cuatro puntos: lo más alto que se escribe solo con barras y puntos |
| 20 | maya: un punto en el piso de arriba y la concha (cero) abajo · mexica: una bandera (pantli) |
| 400 = 20 × 20 | mexica: una pluma o un mechón de cabello (tzontli) |
| 8 000 = 20 × 20 × 20 | mexica: una bolsa de copal (xiquipilli) |
| 16 000 | mexica: dos bolsas |
La bolsa es el signo más grande, no el número más grande. Para cantidades mayores se repite: dos bolsas son 16 000, tres son 24 000. Roma hacía igual con su signo mayor: M es 1 000 y MM son 2 000.
Ese es el gran invento: el valor posicional con cero. Un punto en el segundo piso vale 20; si el primer piso está vacío, se marca con la concha. Es exactamente lo que hacemos nosotros al escribir 10 o 100. En la Cuenta Larga del calendario hay una excepción: el tercer piso vale 18 × 20 = 360 y no 400, para acercarse al año solar.6 Las fechas de Cuenta Larga más antiguas que conocemos, de la región olmeca y epiolmeca, son del siglo I a. C.; la Estela C de Tres Zapotes registra una fecha equivalente al año 32 a. C.7 Con ese sistema, los astrónomos mayas llenaron páginas del Códice de Dresde con tablas de Venus y de eclipses.
Roma nunca tuvo cero. Europa lo recibió de la India, a través del mundo árabe, y no lo usó de manera general hasta los siglos XIII y XIV.3
Banderas, plumas y bolsas
En sus libros de tributo, los mexicas no usaban la barra. En sus registros de tributo el uno es un punto (o un dedo), el 20 es una bandera (pantli), el 400 es una pluma o un mechón de cabello (tzontli) y el 8 000 es una bolsa de copal (xiquipilli).4 Los signos se repiten tantas veces como haga falta: cinco banderas son cien. Así se lee el Códice Mendoza, la copia colonial de los libros de tributo de Tenochtitlan: «veinte pieles de tigre» con una bandera, «cient cargas de cacao» con cinco banderas, cuatrocientos manojos de plumas con una pluma encima.
Es un sistema de suma, no de posición, igual que el romano: cada signo vale siempre lo mismo, esté donde esté. Para escribir una cantidad basta; para hacer una cuenta larga, no tanto. Y, como los romanos, los mexicas no usaban un signo para el cero en estos registros de tributo. Bernal Díaz vio en Tenochtitlan al mayordomo de Moctezuma, que «tenía cuenta de todas las rentas» en «libros, hechos de su papel, que se dice amal».8 Era un imperio de contadores.
Sumar, restar, multiplicar
No sabemos con certeza cómo calculaban. No sobrevive ningún manual de aritmética mexica, y los cronistas casi no hablan del tema. Se ha sugerido que sumaban agrupando signos iguales y «llevando» cuando se juntaban veinte (veinte puntos se cambian por una bandera, veinte banderas por una pluma), y que restaban «pidiendo prestado» de la misma manera. Se ha sugerido también que multiplicaban por sumas repetidas: 7 × 5 como 7 + 7 + 7 + 7 + 7 = 35. Algunos investigadores proponen que usaban granos de maíz, piedrecillas o cuerdas para contar, algo parecido al ábaco romano, pero la evidencia es indirecta.9
Lo que sí sabemos es que el resultado de esas cuentas era exacto. Y eso nos lleva a los mejores documentos que tenemos: los registros de tierras.
Medir la tierra
Hacia 1543–1544, los escribanos acolhuas de Tepetlaoztoc, cerca de Texcoco, pintaron dos libros de tierras: el Códice Vergara y el Códice de Santa María Asunción. Registran cientos de parcelas, casa por casa. De cada campo anotan la longitud de los lados en tlalcuahuitl, la «vara de tierra», de unos 2,5 metros, y fracciones más cortas dibujadas como un corazón, una flecha o una mano. Y anotan, cosa notable, el área de cada campo.10
Barbara Williams y María del Carmen Jorge y Jorge, de la UNAM, recalcularon esas áreas. En 2008 mostraron en Science que el 60 % de las áreas de su muestra se reproducen exactamente con cálculo, y que en las demás la diferencia es pequeña. En lugar de fracciones, los escribanos usaban proporciones entre la vara y las unidades menores, lo que ellas llamaron «aritmética de congruencia acolhua».11 En 2011, con 367 campos del Códice Vergara, identificaron cinco procedimientos que reproducen el 78 % de las áreas.12 Las áreas, pues, se calculaban; no se adivinaban.
Es el mismo trabajo que hacían los agrimensores romanos con su groma: medir para cobrar.
Geometría sin trigonometría
Los aztecas no tenían trigonometría tal como hoy la entendemos, con senos, cosenos y fórmulas; tampoco la tenían los romanos. Pero dominaban una geometría práctica: medidas, ángulos rectos, proporciones. Con ella trazaron Tenochtitlan en una cuadrícula de calzadas y canales, orientaron sus templos según la salida del sol y repartieron la tierra en parcelas.13 Se ha sugerido que esa geometría de proporciones fue un antecedente práctico de lo que otras culturas formalizaron como trigonometría.
Contar el tributo, medir la tierra, llevar el calendario, saber cuánta gente había: los problemas de Roma y de Tenochtitlan eran los mismos. Las respuestas fueron distintas, y en un punto, el cero, Mesoamérica se adelantó a Europa por más de mil años.
Notas
- O. A. W. Dilke, The Roman Land Surveyors: An Introduction to the Agrimensores (Newton Abbot: David & Charles, 1971); sobre la reforma juliana, Suetonio, Divus Iulius 40. ↩
- Anthony F. Aveni, Skywatchers (Austin: University of Texas Press, 2001). ↩
- Karl Menninger, Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers (Cambridge, MA: MIT Press, 1969). ↩
- Alonso de Molina, Vocabulario en lengua castellana y mexicana (México, 1571); Frances F. Berdan y Patricia R. Anawalt, The Codex Mendoza, 4 vols. (Berkeley: University of California Press, 1992). ↩
- Michael P. Closs (ed.), Native American Mathematics (Austin: University of Texas Press, 1986). ↩
- Closs, Native American Mathematics; Aveni, Skywatchers. ↩
- Michael D. Coe, The Maya (Londres: Thames & Hudson, varias ediciones). ↩
- Bernal Díaz del Castillo, Historia verdadera de la conquista de la Nueva España, cap. XCI. ↩
- Propuesta sin fuente primaria directa; véase la discusión en Closs (ed.), Native American Mathematics. ↩
- H. R. Harvey y Barbara J. Williams, "Aztec Arithmetic: Positional Notation and Area Calculation", Science 210 (1980): 499–505. ↩
- Barbara J. Williams y María del Carmen Jorge y Jorge, "Aztec Arithmetic Revisited: Land-Area Algorithms and Acolhua Congruence Arithmetic", Science 320 (2008): 72–77, doi:10.1126/science.1153976. ↩
- María del Carmen Jorge y Jorge, Barbara J. Williams et al., "Mathematical accuracy of Aztec land surveys assessed from records in the Codex Vergara", PNAS 108 (2011), doi:10.1073/pnas.1107737108. ↩
- Edward E. Calnek, "Settlement Pattern and Chinampa Agriculture at Tenochtitlan", American Antiquity 37 (1972); Anthony F. Aveni y Sharon L. Gibbs, "On the Orientation of Precolumbian Buildings in Central Mexico", American Antiquity 41 (1976): 510–517. ↩
- Códice Mendoza, Bodleian Library, MS. Arch. Selden. A. 1; Berdan & Anawalt (1992).
- Códice Vergara y Códice de Santa María Asunción (Tepetlaoztoc, c. 1543–1544).
- Bernal Díaz del Castillo, Historia verdadera, cap. XCI.
- Alonso de Molina, Vocabulario (1571).
- Harvey & Williams, Science 1980; Williams & Jorge y Jorge, Science 2008; Jorge y Jorge et al., PNAS 2011.
- Closs (ed.), Native American Mathematics (1986); Coe, The Maya; Aveni, Skywatchers (2001).
- Dilke, The Roman Land Surveyors (1971); Menninger, Number Words and Number Symbols (1969).
- Eduard Seler, Codex Fejérváry-Mayer (París: Duc de Loubat, 1901)
- Imágenes: Wikimedia Commons — Códice Mendoza fol. 47r y Códice de Santa María Asunción (dominio público); Códice Fejérváry-Mayer, lám. 9, facsímil Loubat (1901); diagrama de amatl.
